代数的基本定理是什么

代数的基本定理：

设K为一交换体.把K上的向量空间E叫做K上的代数，或叫K-代数，如果赋以从E×E到E中的双线性映射.换言之，赋以集合E由如下三个给定的法则所定义的代数结构：

1、记为加法的合成法则(x，y)↦x+y;

2、记为乘法的第二个合成法则(x，y)↦xy;

3、记为乘法的从K×E到E中的映射(α，x)↦αx，这是一个作用法则。

扩展资料：

代数的组成：

1、初等代数

在古代，当算术里积累了大量的，关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量关系的问题，就产生了以解代数方程的原理为中心问题的初等代数。

初等代数（elementary algebra）是研究数字和文字的代数运算理论和方法，更确切的说，是研究实数和复数，以及以它们为系数的代数式的代数运算理论和方法的数学分支学科。

2、高等代数

高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。

参考资料来源：百度百科—代数

代数基本定理的介绍

代数学基本定理：任何复系数一元n次多项式方程在复数域上至少有一根(n≥1)，由此推出，n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）。代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用。据说，关于代数学基本定理的证明，现有200多种证法。

代数基本定理的证明方法

所有的证明都包含了一些数学分析，至少是实数或复数函数的连续性概念。有些证明也用到了可微函数，甚至是解析函数。

定理的某些证明仅仅证明了任何实系数多项式都有复数根。这足以推出定理的一般形式，这是因为，给定复系数多项式p(z)，以下的多项式

就是一个实系数多项式，如果z是q(z)的根，那么z或它的共轭复数就是p(z)的根。

许多非代数证明都用到了“增长引理”：当|z|足够大时，首系数为1的n次多项式函数p(z)的表现如同z。一个更确切的表述是：存在某个正实数R，使得当|z|> R时，就有：证明一

寻找一个中心为原点，半径为r的闭圆盘D，使得当|z|≥ r时，就有|p(z)|>|p(0)|。因此，|p(z)|在D内的最小值（一定存在，因为D是紧致的），是在D的内部的某个点z0取得，但不能在边界上取得。于是，根据最小模原理，p(z0)= 0。也就是说，z0是p(z)的一个零点（根）。

证明二

由于在D之外，有|p(z)|>|p(0)|，因此在整个复平面上，|p(z)|的最小值在z0取得。如果|p(z0)|> 0，那么1/p在整个复平面上是有界的全纯函数，这是因为对于每一个复数z，都有|1/p(z)|≤|1/p(z0)|。利用刘维尔定理（有界的整函数一定是常数），可知1/p是常数，因此p是常数。于是得出矛盾，所以p(z0)= 0。

证明三

这个证明用到了辐角原理。设R为足够大的正实数，使得p(z)的每一个根的绝对值都小于R；这个数一定存在，因为n次多项式函数最多有n个根。对于每一个r> R，考虑以下的数：

其中c(r)是中心为0，半径为r的逆时针方向的圆；于是辐角原理表明，这个数是p(z)在中心为0、半径为r的开圆盘内的零点的数目N，由于r> R，所以它也是p(z)的零点的总数目。另一方面，n/z沿着c(r)的积分除以2πi，等于n。但这两个数的差为：

被积分的有理表达式中的分子，次数最多是n 1，而分母的次数是n+ 1。因此，当r趋于+∞时，以上的数趋于0。但这个数也等于N n，因此有N= n。

证明四

这个证明结合了线性代数和柯西积分定理。为了证明每一个n> 0次复系数多项式都有一个根，只需证明每一个方块矩阵都有一个复数特征值。证明用到了反证法。

设A为大小n> 0的方块矩阵，并设In为相同大小的单位矩阵。假设A没有特征值。考虑预解函数

它在复平面上是亚纯函数，它的值位于矩阵的向量空间内。A的特征值正好是R(z)的极点。根据假设，A没有特征值，因此函数R(z)是整函数，根据柯西积分定理可知：

另一方面，把R(z)展开为几何级数，可得：

这个公式在半径为||A||的闭圆盘的外部（A的算子范数）成立。设r>||A||。那么：

（仅当k= 0时，积分才不等于零）。于是得出矛盾，因此A一定有一个特征值。设z0∈ C为使|p(z)|在z0取得最小值的数;从用到刘维尔定理的证明中，可以看到这样一个数一定存在。我们可以把p(z)写成z z0的多项式：存在某个自然数k和一些复数，使得，以及：

可推出如果a是的一个k重根，且t是足够小的正数，那么|p(z0+ ta)|<|p(z0)|，这是不可能的，因为|p(z0)|是|p|在D内的最小值。

对于另外一个用到反证法的拓扑学证明，假设p(z)没有根。选择一个足够大的正数R，使得对于|z|= R，p(z)的第一项z大于所有其它的项的和；也就是说，|z|>|an 1z+···+ a0|。当z依逆时针方向绕过方程为|z|= R的圆一次时，p(z)，像z那样，依逆时针方向绕过零n次。在另外一个极端，|z|= 0时，“曲线” p(z)仅仅是一个（非零的）点p(0)，它的卷绕数显然是0。如果z所经过的回路在这两个极端中被连续变形，那么p(z)的路径也连续变形。我们可以把这个变形记为，其中t大于或等于0，而小于或等于1。如果我们把变量t视为时间，那么在时间为零时，曲线为p(z)，时间为1时，曲线为p(0)。显然在每一个点t，根据原先的假设p(z)都不能是零，因此在变形的过程中，曲线一直都没有经过零。因此曲线关于0的绕数应该不变。然而，由于绕数在一开始是n，结束时是0，因此得出矛盾。所以，p(z)至少有一个根。这个证明需要依赖实数集的如下事实：正实数R在上有实平方根，以及任何奇次多项式在上有一个根（这可以用介值定理证明）。

首先。经过简单的计算可以证明在开平方运算下是封闭的（利用事实1）。结合。得出不存在二阶扩张。

由于，于是任何的扩张都是可分的，从而任何的代数扩张都可以被包含在一个伽罗瓦扩张内。假设是一个伽罗瓦扩张。考虑伽罗瓦群的西罗2-子群H。那么是奇数。由本原元定理得出，K存在本原元，它的极小多项式是奇次的。但是利用实数集的事实2，任何奇次数多项式在实数上有一个根，于是不存在奇次的且次数>1的不可约多项式。于是是2的幂次。

假设并且r>0，再次利用西罗定理，G存在一个阶为2的子群N。这时。这和先前不存在二阶扩张矛盾。因此的任何代数扩张都是本身，代数基本定理得证。

代数基本定理的证明

代数基本定理的证明如下：

代数拓扑方法：

视S2=C∪{}SymboleB@}，f（z）可以延拓为一个连续映射：F：S2=C∪{SymboleB@}→S2=C∪{SymboleB@}；

F（z）=f（z），z∈C;F（SymboleB@）=SymboleB@。

由此可知，只要证明0∈ImF即可。

伯努利在1702年的文章“关于积分学问题的解答”的开头得出一个结论：有理微积分总是可以约化为双曲线的求积（如果对数是实的）或圆的求积（如果对数是虚的）。